In jedem Dreieck gibt es vier Punkte mit ganz besonderen, fast schon "magischen" Eigenschaften. Um sie zu finden, müssen wir spezielle Linien (Symmetralen, Höhen oder Schwerlinien) konstruieren. Wenn du genau zeichnest, treffen sich diese drei Linien immer exakt in einem einzigen Punkt!
1. Der Umkreismittelpunkt ($U$)
Der Umkreis ist ein Kreis, der genau durch alle drei Eckpunkte ($A, B, C$) des Dreiecks verläuft. Sein Mittelpunkt ist der Umkreismittelpunkt $U$.
Konstruktion:
- Konstruiere die Streckensymmetralen ($s_a, s_b, s_c$) für alle drei Seiten. Das ist die Linie, die genau in der Mitte einer Seite im rechten Winkel ($90^\circ$) steht.
- Dort, wo sich die drei Streckensymmetralen schneiden, liegt $U$.
- Stich mit dem Zirkel in $U$ ein. Der Radius $r$ reicht genau bis zu einem Eckpunkt.
Simulator: Umkreis ($U$)
2. Der Inkreismittelpunkt ($I$)
Der Inkreis ist der größte Kreis, der noch komplett in das Dreieck passt. Er berührt jede der drei Seiten genau einmal. Sein Mittelpunkt heißt Inkreismittelpunkt $I$.
Konstruktion:
- Konstruiere die Winkelsymmetralen ($w_\alpha, w_\beta, w_\gamma$). Sie halbieren die Winkel in den Ecken.
- Der Schnittpunkt dieser Linien ist $I$.
- Achtung beim Radius $\rho$: Lege das Geodreieck an eine Seite an und zeichne eine Normale (im rechten Winkel) durch $I$. Dieser Abstand ist dein Radius für den Zirkel!
Simulator: Inkreis ($I$)
3. Der Schwerpunkt ($S$)
Der Schwerpunkt ist das exakte Zentrum des Dreiecks. Wenn du das Dreieck aus Pappe ausschneidest und einen Bleistift genau unter den Punkt $S$ hältst, würde das Dreieck perfekt balancieren und nicht herunterfallen!
Konstruktion:
- Markiere genau die Mitte von jeder der drei Seiten.
- Zeichne die Schwerlinien ($s_A, s_B, s_C$). Verbinde dazu den Mittelpunkt einer Seite immer mit der gegenüberliegenden Ecke.
- Der Schnittpunkt ist der Schwerpunkt $S$. Er teilt die Schwerlinien übrigens immer genau im Verhältnis 2:1!
Simulator: Schwerpunkt ($S$)
4. Der Höhenschnittpunkt ($H$)
Ein Dreieck hat nicht nur eine "Höhe", sondern gleich drei! Die Höhen geben den kürzesten, senkrechten Abstand von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite an.
Konstruktion:
- Zeichne die drei Höhen ($h_a, h_b, h_c$). Lege dazu die Mittellinie deines Geodreiecks genau auf eine Seite und fahre bis zur gegenüberliegenden Ecke.
- Zeichne die Normale (den rechten Winkel) durch die Ecke.
- Der Punkt, an dem sich alle drei Höhenlinien schneiden, ist der Höhenschnittpunkt $H$.