Lineare Gleichungssysteme

Interaktiver Lernpfad zu Kapitel 3

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Mathematik

Gleichungen in zwei Variablen

1. Situationen mit zwei Unbekannten

Buch S. 74, Aufgabe 3.01

In vielen Alltagsproblemen hängen zwei Größen voneinander ab. Das klassische Beispiel im Buch ist der Mathematikwettbewerb.

Beispiel 3.01: 3-Punkte-Aufgaben (x) und 4-Punkte-Aufgaben (y). Insgesamt sollen 60 Punkte erreicht werden.
Mathematisches Modell: 3 · x + 4 · y = 60

Lösungs-Checker

Finde ein Zahlenpaar (x | y), das die Gleichung 3x + 4y = 60 erfüllt:

x = y =

2. Die lineare Gleichung

Buch S. 75, Definition
Eine Gleichung der Form a · x + b · y = c nennt man eine lineare Gleichung in den Variablen x und y. Jedes Zahlenpaar (x | y), das die Gleichung erfüllt, heißt Lösung.

Geometrische Interpretation (S. 77)

Jede Lösung entspricht einem Punkt im Koordinatensystem. Die Menge aller Lösungen bildet eine Gerade.

Fall 1: a = 0

b · y = c  →  y = c/b

Waagrechte Gerade
(Parallel zur 1. Achse)
Fall 2: b = 0

a · x = c  →  x = c/a

Senkrechte Gerade
(Parallel zur 2. Achse)
Fall 3: c = 0

a · x + b · y = 0

Ursprungsgerade
(Geht durch den Ursprung)

3. Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Buch S. 80, Aufgabe 3.22

Ein LGS besteht aus zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Hotel-Beispiel (3.22):
20 Zimmer (e + d = 20), 32 Betten (e + 2d = 32).
Grafisch suchen wir den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Wie viele Lösungen gibt es?

Klicke auf die Fälle, um die Theorie aus S. 80 zu sehen:

Schnittpunkt: Die Geraden schneiden einander. Die Steigungen sind unterschiedlich.
Parallele Geraden: Die Geraden haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte. Sie treffen sich nie.
Identische Geraden: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Jeder Punkt der Geraden ist eine Lösung.

4. Rechnerische Lösungsverfahren

Buch S. 82-84

Wähle ein Verfahren zur Demonstration:

Gleichsetzungsverfahren

Ideal, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen (z.B. y) aufgelöst sind.

(I) y = 2x + 1
(II) y = -x + 4

  1. Gleichsetzen: 2x + 1 = -x + 4
  2. Nach x auflösen: 3x = 3  →  x = 1
  3. x in (I) einsetzen: y = 2(1) + 1  →  y = 3
Lösung: (1 | 3)

Einsetzungsverfahren (Substitutionsmethode)

(I) x - 5y = 17
(II) 2x + 3y = -5

  1. Variable isolieren: Aus (I) folgt x = 17 + 5y
  2. In (II) einsetzen: 2(17 + 5y) + 3y = -5
  3. Klammer lösen: 34 + 10y + 3y = -5
  4. Zusammenfassen: 13y = -39  →  y = -3
  5. y einsetzen: x = 17 + 5(-3) = 2
Lösung: (2 | -3)

Eliminationsverfahren (Additionsmethode)

(I) x - 5y = 17
(II) 2x + 3y = -5

  1. (I) mit -2 multiplizieren: -2x + 10y = -34
  2. Gleichungen addieren: (-2x + 10y) + (2x + 3y) = -34 + (-5)
  3. Variable x fällt weg: 13y = -39  →  y = -3
  4. y einsetzen in (I): x - 5(-3) = 17  →  x = 2
Lösung: (2 | -3)

5. Diskussion von Parametern

Buch S. 86, Aufgabe 3.45

Manchmal enthalten Gleichungen Platzhalter (Parameter wie a oder b). Wir untersuchen, wie diese Parameter die Lösung beeinflussen.

Gleichungssystem:
(I) -2x + -3y = 1
(II) 4x + 6y = -2
━ Gerade (I)    ━ Gerade (II)