Grafik-Labor: Lineare Zusammenhänge

Visualisierung, Interpretation und Modellbildung

Referenz: S. 77, Aufgabe 3.10

1. Zeichnen einer linearen Gleichung

Um eine Gleichung wie \(2x + 7y = 56\) zu zeichnen, gibt es zwei Hauptwege:

Methode A: Achsenschnittpunkte (Schnittpunktmethode)

  1. Setze \(x = 0\) \(\rightarrow\) Berechne \(y\) (Schnittpunkt mit der 2. Achse)
  2. Setze \(y = 0\) \(\rightarrow\) Berechne \(x\) (Schnittpunkt mit der 1. Achse)
  3. Verbinde die beiden Punkte.

Interaktives Beispiel 3.10

Gleichung: \(2x + 7y = 56\)

Referenz: S. 80, S. 86

2. LGS im Koordinatensystem

Ein Gleichungssystem grafisch zu lösen bedeutet, den Schnittpunkt zu finden. Es gibt drei mögliche Lagen:

Lage der Geraden Anzahl der Lösungen Bedingung
Schneidend Genau eine Unterschiedliche Steigung
Parallel Keine Lösung Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte
Identisch Unendlich viele Gleiche Steigung, gleiche Achsenabschnitte

Visualisierung der Spezialfälle

Wähle einen Fall aus Aufgabe 3.22 oder 3.45:

Referenz: S. 78, Merksatz & Aufgabe 3.16

3. Von der Grafik zur Gleichung

Wenn du die Schnittpunkte mit den Achsen kennst, kannst du die Gleichung extrem schnell aufstellen.

Die Achsenabschnitt-Formel (S. 78)

Sind die Schnittpunkte \(P(p_1 | 0)\) und \(Q(0 | q_2)\) gegeben, lautet eine passende Gleichung stets:

\(q_2 \cdot x + p_1 \cdot y = p_1 \cdot q_2\)

Beispiel: Schnittpunkte \((3|0)\) und \((0|2)\)
\(\Rightarrow 2 \cdot x + 3 \cdot y = 3 \cdot 2\)
\(\Rightarrow 2x + 3y = 6\)

Gleichungs-Generator

Gib die Schnittpunkte aus einem Graphen ein:

Schnittpunkt 1. Achse: \(p_1 = \)

Schnittpunkt 2. Achse: \(q_2 = \)