Begründung der Lösungsmethoden
Hier geht es darum, den "cleversten" Weg zu finden, um sich unnötige Rechenarbeit zu ersparen.
Eliminationsverfahren
Warum? Die Terme $-7y$ und $+7y$ heben sich beim Addieren der Gleichungen sofort auf.
Einsetzungsverfahren
Warum? Die erste Gleichung ist bereits perfekt nach $y$ freigestellt ($y = 4x - 7$). Man kann den Term direkt in II einsetzen.
Eliminationsverfahren
Warum? $+2x$ in I und $-2x$ in II heben sich bei der Addition sofort auf.
Gleichsetzungsverfahren
Warum? Beide Gleichungen sind bereits nach $x$ freigestellt. Man kann sofort $3y + 10 = 5y - 7$ schreiben.
Einsetzungsverfahren
Warum? Aus Gleichung II ($x + 8 = 13$) lässt sich $x$ im Kopf ausrechnen ($x = 5$) und direkt in I einsetzen.
Einsetzungsverfahren
Warum? In Gleichung II steht das $y$ fast alleine. Formt man auf $y = -37x - 3$ um, kann man es leicht in I einsetzen.
Eliminationsverfahren
Warum? Die Terme $-x$ in I und $+x$ in II heben sich beim Addieren direkt auf.
Eliminationsverfahren
Warum? Das $y$ aus I und das $-y$ aus II ergeben bei Addition sofort $0$.
Rechnerische & Grafische Lösungen
Klicke auf "Lösungsweg anzeigen", um die schrittweise Rechnung und den exakten Schnittpunkt im Koordinatensystem zu sehen.
Lösungsweg anzeigen
I: $2y - 3x = 14 \implies 2y = 3x + 14$
II: $4y - 2x = 16 \implies 4y = 2x + 16 \implies 2y = x + 8$
Gleichsetzungsverfahren:
$3x + 14 = x + 8$
$2x = -6 \implies x = -3$
In umgeformte II einsetzen:
$2y = -3 + 8 \implies 2y = 5 \implies y = 2,5$
Lösungsweg anzeigen
Eliminationsverfahren: I und II addieren
$$ \begin{array}{lrcr} \text{I:} & 2x - 2y &=& 40 \\ \text{II:} & +\ (3x + 2y &=& 10) \\ \hline \text{I+II:} & 5x &=& 50 \end{array} $$Daraus folgt durch Division mit $5$ direkt: $x = 10$.
In II einsetzen:
$3(10) + 2y = 10 \implies 30 + 2y = 10$
$2y = -20 \implies y = -10$
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I: $6y = 3x + 27 \implies x = 2y - 9$
II: $-10x + 7y = -14$
Einsetzungsverfahren (I in II):
$-10(2y - 9) + 7y = -14$
$-20y + 90 + 7y = -14$
$-13y = -104 \implies y = 8$
In umgeformte I einsetzen:
$x = 2(8) - 9 = 16 - 9 \implies x = 7$
Lösungsweg anzeigen
I: $y = -2x + 6$
II: $y + x = 4 \implies y = -x + 4$
Gleichsetzungsverfahren:
$-2x + 6 = -x + 4$
$-x = -2 \implies x = 2$
In umgeformte II einsetzen:
$y = -2 + 4 \implies y = 2$
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I: $-\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -1 \quad | \cdot (-6) \implies 2x + 3y = 6$
II: $2x + 3y = 12$
Eliminationsverfahren: Gleichung II von I' subtrahieren
$$ \begin{array}{lrcr} \text{I':} & 2x + 3y &=& 6 \\ \text{II:} & -\ (2x + 3y &=& 12) \\ \hline \text{I'-II:} & 0 &=& -6 \end{array} $$Das ist eine falsche Aussage. Es gibt keinen Schnittpunkt, die Geraden sind parallel.
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I: $-2y + 3x = 6 \implies 3x - 2y = 6$
II: $x = 2 + \frac{2}{3}y \quad | \cdot 3 \implies 3x = 6 + 2y \implies 3x - 2y = 6$
Wir sehen sofort, dass Gleichung I und Gleichung II exakt gleich sind. Es handelt sich um ein und dieselbe Gerade. Jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.
Lösungsweg anzeigen
I: $\frac{3}{4}y + x = -1 \quad | \cdot 4 \implies 3y + 4x = -4$
II: $5x - 3y = 16$
Eliminationsverfahren: Gleichung I' und II addieren
$$ \begin{array}{lrcr} \text{I':} & 4x + 3y &=& -4 \\ \text{II:} & +\ (5x - 3y &=& 16) \\ \hline \text{I'+II:} & 9x &=& 12 \end{array} $$Daraus folgt: $x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
In II einsetzen:
$5(\frac{4}{3}) - 3y = 16 \implies \frac{20}{3} - 16 = 3y$
$y = -\frac{28}{9} \approx -3,11$
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I: $5x + 8y = 25,5 \quad | \cdot 2 \implies 10x + 16y = 51$
II: $2x + 3y = 9,7 \quad | \cdot 5 \implies 10x + 15y = 48,5$
Eliminationsverfahren: Gleichung II' von I' subtrahieren
$$ \begin{array}{lrcr} \text{I':} & 10x + 16y &=& 51 \\ \text{II':} & -\ (10x + 15y &=& 48,5) \\ \hline \text{I'-II':} & y &=& 2,5 \end{array} $$In II einsetzen:
$2x + 3(2,5) = 9,7 \implies 2x + 7,5 = 9,7$
$2x = 2,2 \implies x = 1,1$
LGS-Lösungskontrolle
Bringe deine Gleichungen in die Form $ax + by = c$. Gib die Zahlen unten ein, um eigene Beispiele zu überprüfen!