Weitere Mittelwerte

Geometrisches und harmonisches Mittel verstehen und anwenden

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Das klassische (arithmetische) Mittel reicht nicht immer aus. Wenn es um Wachstumsfaktoren (z. B. Zinsen) oder Durchschnittsgeschwindigkeiten geht, liefert das arithmetische Mittel oft falsche Ergebnisse. Hier kommen zwei neue Mittelwerte ins Spiel!

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1. Das geometrische Mittel

Das geometrische Mittel verwendet man oft, wenn man einen durchschnittlichen Wachstumsfaktor sucht oder aus den Seitenlängen eines Rechtecks ein flächengleiches Quadrat berechnen möchte.

Formel

Man multipliziert alle \(n\) Werte miteinander und zieht daraus die \(n\)-te Wurzel:

\(\bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}\)

Beispiel: Das flächengleiche Quadrat

Ein Rechteck hat die Seitenlängen \(a = 4\) cm und \(b = 9\) cm. Die Fläche ist \(A = 4 \cdot 9 = 36\) cm².
Wie lang muss die Seite \(s\) eines Quadrats sein, damit es dieselbe Fläche hat?

  • Wir suchen das geometrische Mittel von 4 und 9 (da es 2 Werte sind, ziehen wir die 2. Wurzel bzw. Quadratwurzel):
  • \(\bar{x}_{geom} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\) cm.
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2. Das harmonische Mittel

Das harmonische Mittel ist der Spezialist für Verhältniszahlen – der absolute Klassiker ist hier die Durchschnittsgeschwindigkeit bei gleicher Wegstrecke.

Formel

Man teilt die Anzahl der Werte (\(n\)) durch die Summe der Kehrwerte aller Zahlen:

\(\bar{x}_{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}\)

Beispiel: Die Durchschnittsgeschwindigkeit

Du fährst mit dem Fahrrad einen Berg hinauf (Geschwindigkeit: 10 km/h). Oben angekommen, fährst du dieselbe Strecke sofort wieder hinunter (Geschwindigkeit: 30 km/h).

Achtung Falle! Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist NICHT 20 km/h!

Weil du bergauf für dieselbe Strecke viel länger gebraucht hast als bergab, warst du viel länger langsam unterwegs. Wir berechnen das harmonische Mittel:

  • \(n = 2\) (zwei Geschwindigkeiten)
  • \(\bar{x}_{harm} = \frac{2}{\frac{1}{10} + \frac{1}{30}} = \frac{2}{\frac{3}{30} + \frac{1}{30}} = \frac{2}{\frac{4}{30}} = 2 \cdot \frac{30}{4} = \frac{60}{4} = 15\) km/h.
Labor

Interaktives Mittelwert-Labor

In der Mathematik gibt es ein faszinierendes Gesetz: Die Ungleichung der Mittelwerte. Bei beliebigen positiven Zahlen ist das harmonische Mittel immer das kleinste, das geometrische liegt in der Mitte und das arithmetische ist das größte (außer alle Zahlen sind genau gleich, dann sind auch alle Mittelwerte gleich).

Gib zwei beliebige positive Zahlen ein: