1. Das arithmetische Mittel (Durchschnitt)
Das arithmetische Mittel ist der klassische Durchschnitt. Er berechnet sich, indem man alle erhobenen Werte addiert und durch die Gesamtzahl der Werte dividiert.
Formel
Beispiel: Eine Schülerin schreibt in Mathematik folgende Noten: 2, 3, 1, 4, 2.
- Summe der Werte: \(2 + 3 + 1 + 4 + 2 = 12\)
- Anzahl der Werte (\(n\)): 5
- \(\bar{x} = \frac{12}{5} = 2,4\)
Achtung: Das arithmetische Mittel ist sehr anfällig für Ausreißer (extrem hohe oder niedrige Werte)!
2. Das gewichtete arithmetische Mittel
Oft kommen in einer Datenreihe gleiche Werte mehrfach vor (z. B. bei der Notenverteilung einer Schularbeit). Statt alle Werte einzeln aufzuschreiben, verwendet man das gewichtete (oder gewogene) arithmetische Mittel. Die Häufigkeit eines Wertes ist dabei sein "Gewicht".
Formel
(\(x\) = der jeweilige Wert, \(h\) = die absolute Häufigkeit / das Gewicht dieses Wertes)
Interaktives Beispiel: Notendurchschnitt einer Schularbeit
Trage ein, wie oft jede Note bei einer fiktiven Schularbeit vorkam, um den Klassendurchschnitt zu berechnen:
| Note (\(x\)) | Anzahl (\(h\)) | Produkt (\(x \cdot h\)) |
|---|---|---|
| Sehr gut (1) | - | |
| Gut (2) | - | |
| Befriedigend (3) | - | |
| Genügend (4) | - | |
| Nicht genügend (5) | - |
3. Der Median (Zentralwert)
Der Median halbiert eine geordnete Datenreihe. Genau die Hälfte der Werte ist kleiner oder gleich dem Median, die andere Hälfte ist größer oder gleich.
So findest du den Median:
- Ordne alle Werte der Größe nach (von klein nach groß).
- Suche den Wert in der genauen Mitte.
Fall A: Ungerade Anzahl an Werten
Die Notenreihe geordnet: 1, 2, 2, 3, 4
Der Wert in der Mitte ist die 2. Der Median ist also 2.
Fall B: Gerade Anzahl an Werten
Kommt eine weitere Note (z.B. ein 5er) hinzu: 1, 2, 2, 3, 4, 5
Nun stehen zwei Werte in der Mitte (2 und 3). Der Median ist das arithmetische Mittel dieser beiden Werte: \(\frac{2 + 3}{2} = 2,5\).
4. Der Modus (Modalwert)
Der Modus ist der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt.
Beispiel: Gegebene Noten: 2, 3, 1, 4, 2
Die Note 2 kommt zweimal vor, alle anderen nur einmal. Der Modus ist daher 2.
Hinweis: Es kann auch mehrere Modalwerte geben (wenn z.B. die 2 und die 3 gleich oft am häufigsten vorkommen) oder gar keinen (wenn alle Werte gleich oft auftreten).
Interaktives Daten-Labor (Rohdaten)
Probiere es selbst aus! Gib eine beliebige Reihe von einzelnen Zahlen ein (durch Kommas getrennt). Beobachte, was passiert, wenn du einen extrem hohen Wert (Ausreißer) hinzufügst.