Varianz & Standardabweichung | Mathe Verstehen 4

Mathematik 4

Das Problem mit dem Mittelwert

Stell dir zwei Klassen vor, die denselben arithmetischen Mittelwert ($\bar{x}$) in einem Test erreicht haben. Sind sie deswegen gleich?

Dataset A (Klasse 1)

Werte: {4, 5, 5, 6}

Mittelwert $\bar{x} = 5$

Alle Werte sind nah beieinander.

Dataset B (Klasse 2)

Werte: {1, 2, 8, 9}

Mittelwert $\bar{x} = 5$

Extrem breite Streuung.

Die Kernaussage nach „Mathematik verstehen 4“: Nur wenn man angibt, wie stark die Daten um das arithmetische Mittel ($\bar{x}$) streuen, kann man Datensätze richtig vergleichen. Dafür brauchen wir die Streuungsmaße.

Labor

Interaktives Qualitäts-Labor

In der 4. Klasse ist die Standardabweichung das zentrale Maß für Präzision, z. B. bei der Qualitätskontrolle einer Abfüllmaschine.

Präzision der Maschine (Verschiebe die Datenpunkte)

PRÄZISE MITTEL UNPRÄZISE

Aktuelle Streuung ($s$)

-- mm

Schritt-für-Schritt

Die Berechnung: Die Formeln

Um die Standardabweichung ($s$) zu erhalten, gehen wir im Schulbuch immer über die empirische Varianz ($s^2$).

Schritt 1: Empirische Varianz ($s^2$)

Man bildet das arithmetische Mittel ($\bar{x}$), quadriert alle Abweichungen der Datenpunkte von $\bar{x}$, summiert diese Quadrate und teilt sie durch die Anzahl ($n$) der Datenpunkte.

$$ s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2}{n} $$

Das Problem: Die Varianz hat eine falsche Maßeinheit, da alles quadriert wurde (z. B. $mm^2$ statt $mm$). Das ist im Alltag schwer vorstellbar!

Schritt 2: Standardabweichung ($s$)

Die Varianz korrigiert man, indem man am Ende einfach die Wurzel zieht. Die Standardabweichung hat somit wieder die ursprüngliche Maßeinheit der Datenliste (z. B. $mm$).

$$ s = \sqrt{s^2} $$

Check

Arbeitsauftrag: Qualitätskontrolle

Gegeben sind die Ergebnisse der Füllmengenprüfung zweier Maschinen. Klicke auf die korrekte Aussage.

Maschine A

Füllmenge $\bar{x}_A = 100\,mm$

$s_A = 2\,mm$

Maschine B

Füllmenge $\bar{x}_B = 100\,mm$

$s_B = 5\,mm$