Aussagen in der Mathematik
Eine mathematische Aussage ist ein Satz, der eindeutig wahr oder falsch ist. Fragen, Befehle und Sätze mit unbekannten Variablen sind zunächst keine Aussagen.
Lernziel: Du kannst Aussagen prüfen, verneinen und mit „und“, „oder“, „wenn ... dann“ sowie „genau dann, wenn“ verbinden.
Was ist eine Aussage?
Wahr oder falsch
„5 < 3“ ist eine falsche Aussage. „-5 < -3“ ist eine wahre Aussage.
Eine Aussage besitzt genau einen Wahrheitswert.
Verneinung
Die Verneinung von A wird mit ¬A bezeichnet. Aus einer wahren Aussage wird eine falsche und umgekehrt.
A: „x ist gerade“ → ¬A: „x ist nicht gerade“
Verknüpfung
A ∧ B bedeutet „A und B“. Beide Aussagen müssen wahr sein.
A ∨ B bedeutet „A oder B“. In der Mathematik darf auch beides wahr sein.
Interaktiv: Aussage prüfen
Setze eine ganze Zahl für x ein und prüfe die Aussage x² = 1.
Eine Aussage mit einer Variablen wird durch das Einsetzen einer Zahl zu einer konkreten Aussage.
Wahrheitstafel: „und“ und „oder“
Wähle die Wahrheitswerte von A und B. Die Tabelle zeigt sofort, ob die Verknüpfungen wahr oder falsch sind.
| A | B | ¬A | A ∧ B | A ∨ B |
|---|---|---|---|---|
| wahr | wahr | falsch | wahr | wahr |
„Oder“ ist hier nicht ausschließend: A ∨ B ist auch wahr, wenn A und B beide wahr sind.
Implikation und Äquivalenz
Implikation: A ⇒ B
„Wenn A, dann B.“ Ist A wahr, muss B ebenfalls wahr sein. Aus B folgt aber nicht automatisch A.
Beispiel: x = 1 ⇒ x² = 1
Äquivalenz: A ⇔ B
„A genau dann, wenn B.“ Beide Richtungen gelten: A ⇒ B und B ⇒ A.
Beispiel: x² = 1 ⇔ (x = 1 ∨ x = -1)
Prüfe die Umkehrung: Ist die Aussage „x = 1 ⇒ x² = 1“ auch in der Umkehrung wahr?
All- und Existenzaussagen
Eine Allaussage gilt für alle betrachteten Zahlen. Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um sie zu widerlegen.
Eine Existenzaussage behauptet, dass es mindestens ein Beispiel gibt. Dieses Beispiel dient als Beweis.
Existenzaussage: „Es gibt eine natürliche Zahl n mit n² = 9.“ (Zum Beispiel n = 3.)
Mini-Check: Welche Zahl ist ein Gegenbeispiel zu „Für alle ganzen Zahlen x gilt x² - x > 0“?